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小學數學概念教學的價值、問題與策略

發布時間：2023年07月12號，星期三快速評論

　　摘要：
　　
　　數學概念是數學知識體系的基石，在學生核心素養形成和發展的過程中起著不可或缺的作用。部分教師在概念教學時存在表述不準、階段不清、核心不對、過程不實等問題，為彰顯數學概念的育人價值，教學時應厘清概念內涵，精致概念建構，激活概念應用。
　　
　　關鍵詞:小學數學;概念教學;概念內涵;概念建構;概念應用;
　　

　　Value,Problems and Strategies of Teaching Mathematics Concepts in Primary Schools
　　
　　LIU Zheng-song

　　
　　隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》的頒布，數學課程改革又一次站在新的起點。單元整體教學設計、跨學科主題學習等成為新的研究熱點，不過，在眾多熱點問題的背后，概念教學一直是教學研究的核心。
　　
　　一、概念教學的價值審視
　　
　　概念是小學數學教材的主要組成部分，雖然關于概念教學的研究已十分深入，但在核心素養導向的課程目標指引下，概念教學有著更為深遠的意義。
　　
　　1. 數學眼光在概念建構中練就
　　
　　數學是研究數量關系和空間形式的科學[1]。它源于對現實世界的抽象，通過對數量和數量關系、圖形和圖形關系的抽象，建構一個個數學概念，從而得到數學的研究對象及其關系?？梢?，數學學習和研究對象并非現實世界中的真實存在，而是基于對現實世界的觀察，從中抽取與數量關系和空間形式有關的要素，并在大腦中展開思維活動，數學眼光自然就在這樣的思維活動中逐步練就。
　　
　　2. 數學思維在概念應用中磨礪
　　
　　概念是判斷和推理的基礎，判斷和推理是概念應用的基本形式。其中，判斷是較低層次的概念應用，表現為能將特例納入概念外延；推理是較高層次的概念應用，表現為能用概念解決真實問題。無論是哪個層次的應用，都離不開數學思維，從某種程度上說，概念應用的過程就是學生用數學思維思考現實世界的過程。
　　
　　3. 數學語言在概念描述中精準
　　
　　數學概念是現實世界中有關數量關系和空間形式的本質屬性在人腦中的反映[2]。這種反映是通過簡約、精確的數學語言進行描述的?？梢哉f，沒有數學語言就無法形成數學概念，也就無法揭示數學的本質，更談不上用數學的知識和方法去分析問題、解決問題。因此，概念描述的過程就是運用數學語言溝通現實世界和數學世界的過程。
　　
　　不難看出，數學概念作為落實學生核心素養的重要載體，在學生數學眼光、數學思維和數學語言的形成和發展過程中起著不可或缺的作用。
　　
　　二、概念教學的問題剖析
　　
　　回顧當下的概念教學，一些司空見慣的現象值得我們倍加關注。
　　
　　1. 表述不準
　　
　　教學“認識面積”時教師結合教室里的實物，按照“物體都有面—每個面都有大小—面的大小就是它的面積”這一線索引導學生認識面積，隨后通過平面圖形面積的大小比較，完善對面積含義的認識。為了區分周長和面積這兩個概念，教師經常會設計這樣一個問題：指出××圖形的面積，并描出它的周長。
　　
　　在學生認識面積時，適時與已認識的周長這一概念進行對比，其出發點毋庸置疑。但我們知道：封閉圖形一周的長度是它的周長；封閉圖形的大小是它的面積。因此，周長和面積都是從不同維度度量圖形的結果，圖形的“面”可以指，圖形的“周”可以描，但在圖形上指“面積”、描“周長”卻說不通?？梢?，有些教師平時不夠嚴謹，對概念的表述不準，在不經意間就教錯了，而這樣的錯誤表述自然會影響學生對概念的理解和表達。
　　
　　2. 階段不清
　　
　　教學“角的初步認識”時，教師引導學生觀察身邊熟悉的物品，找出這些物品面上的角，在此基礎上抽象出大小不同的角，初步感知角的特征，認識角各部分的名稱。接著組織學生用兩根硬紙條做一個活動角，并通過操作，形成大小不同的角，進而感悟角的大小跟它兩條邊叉開的大小有關，跟邊的長短無關。
　　
　　上述“角的初步認識”的教學流程相信大家都非常熟悉，在這樣的課堂中，我們總會發現學生對“角的大小跟邊的長短無關”無法理解，也曾看到不少教師為突破這一難點而費盡周折，但效果并不樂觀。問題就在于教師沒有厘清概念教學的不同階段，教早了。學生初步認識角時，他們還沒有認識射線，對角的兩條邊可以無限延長這一點缺乏感知，自然無法理解角的大小跟邊的長短無關，等學生認識射線后，再次深入認識角時感受這一點的時機才成熟。
　　
　　3. 核心不對
　　
　　教學“倍的認識”時，教師創設情境，從花壇中數出藍花2朵，黃花6朵，紅花8朵，引導學生比較三種花的朵數，學生基于已有經驗，從“相差多少”的角度對三種花進行比較。隨后，教師將2朵藍花圈在一起，再把黃花也2朵2朵地圈在一起，同時揭示“藍花有2朵，黃花有3個2朵，黃花的朵數是藍花的3倍。”
　　
　　學習這節課時，我們會發現學生在交流時并不能如教師所期盼的那樣“完整”地說理。究其原因，是教師沒有把準“倍”這一概念的核心——兩個量之間“份數”的關系，而糾結于“藍花有2朵，黃花有3個2朵”這樣繞口令式的說法，給學生的學習平添了幾分障礙。其實，圈完后，可以結合圖示簡潔明了地揭示“藍花朵數是1份，黃花朵數是3份，黃花是藍花的3倍”，這樣更便于學生交流和表達，而關注“藍花有2朵，黃花有3個2朵”顯然教偏了。
　　
　　4. 過程不實
　　
　　教學“正比例的意義”時，教師以表格的形式呈現一輛汽車行駛的時間和路程的幾組對應數據，引導學生觀察，發現汽車行駛的路程和時間的比的比值是不變的，也就是汽車的速度不變。在此基礎上，抽象出數量關系式：并結合寫出的關系式，揭示正比例的意義。
　　
　　這樣教學，學生看似經歷了“正比例”概念的形成過程，但他們運用所學進行判斷時，往往只關注兩種量的商是否一定，若商一定，則判斷成正比例，否則便不成正比例。于是，當學生遇到“圓的直徑一定，圓的周長和圓周率成正比例嗎？”這一問題時，絕大部分學生都根據判斷成正比例，這就充分暴露了教學的不到位——教虛了。教師忽視了判斷兩種量是否成正比例的一個更為重要的前提——兩種量必須是兩種相關聯的變量。
　　
　　三、概念教學的策略探尋
　　
　　為充分彰顯數學概念的育人價值，教學時要強化學生對數學本質的理解，關注數學概念的現實背景，引導他們從數學概念之間的聯系出發，建立有意義的知識結構。?
　　
　　1. 厘清概念內涵
　　
　　小學數學涉及的基礎概念很多，這些概念是數學知識體系的基石，唯有教師厘清每個概念的內涵，才能促使學生在活動中深刻理解概念。
　　
　　(1）把握本質。高度抽象性是數學學科的特征之一。教師在進行概念教學前把握其本質，可以避免以訛傳訛，為學生數學學習掃清障礙。
　　
　　例如，蘇教版?《數學》?五年級下冊“整理與復習”中有這樣一道題目：
　　
　　不少教師認為，學生學習了折線統計圖，類似的問題就應該迎刃而解。但實際情況并非如此，這里的圖像本質上是函數圖像，與折線統計圖只是形似，圖像中每個點的實際意義不同，所屬知識領域也不同。明確這一點后，我們就不會奢求學生學完折線統計圖后，能順暢地解決上述問題。
　　
　　(2）嚴謹邏輯。數學是一門具有嚴密邏輯性的學科，這也是其獨特的育人價值所在。日常概念教學中，我們需要有更高的站位，厘清概念之間的邏輯關系，進而幫助學生積累豐富的思維經驗。
　　
　　以“3的倍數的特征”教學為例。師生通過探究得到“3的倍數，各位上數的和是3的倍數。”不過，我們去判斷一個數是不是3的倍數時，其實是基于“各個數位上數的和是3的倍數，這個數是3的倍數”進行判斷的。如果把我們探究得到的結論看作原命題，那么判斷時用的就是其逆命題，而常識告訴我們，原命題為真命題，逆命題不一定為真命題。因此，蘇教版數學教材在探究出3的倍數的特征后，提了這么一個問題：如果一個數不是3的倍數，這個數各個數位上數的和會是3的倍數嗎？但有些教師對這一問題視而不見，甚至根本不引領學生進行相應的討論。須知，“如果一個數不是3的倍數，這個數各個數位上數的和也不是3的倍數”恰是原命題的否命題，而否命題和逆命題同為真命題或同為假命題。這樣一來，我們用合情推理的方式驗證了原命題的否命題為真命題，自然就可以用原命題的逆命題進行判斷了。雖然學生暫時并不能感受到這些復雜的邏輯關系，但作為教師在進行概念教學時理應嚴謹邏輯，讓學生在潛移默化中體驗和感悟其中的道理。
　　
　　2. 精致概念建構
　　
　　概念建構是學生對概念建立心理表征的過程，即學生基于已有認知，通過思維加工學習素材，從而形成新的概念。這一過程是概念教學的核心，直接影響著學生對概念的理解與應用。
　　
　　(1）豐富實例。由于教材受版面、篇幅等條件的限制，一般都是一、兩個例子教學一個概念。但就小學生而言，僅憑一、兩個例子就希望他們精準建構某一數學概念顯然較為牽強。為此，教師在設計教學時應根據學情，適時增加一些例子，以拓寬學生的視野，豐富學生的體驗。
　　
　　以蘇教版《數學》六年級上冊“比的意義”教學為例。教材編排了“同類量的比”和“不同類量的比”兩道例題，倘若在兩個例題的基礎上就嘗試歸納概括比的意義，看似合情合理，但學生很難深入理解。因此，教學時在兩個例題后增加了一些例子：在同類量的比中增加班級男、女生人數比以及圖形的面積比；在不同類量的比中增加用“總價÷數量=單價”和“長方形的面積÷長=寬”這兩個數量關系解決的問題，讓學生在不同的情境中進一步感受比。此時，比的意義在學生腦海中已呼之欲出，后續的歸納概括自然水到渠成。
　　
　　(2）多元表征。多元表征理論指出，數學概念的心理表征往往包含多個不同的方面或成分，用數學概念的多元表征學習數學概念是一種新理念和策略[3]。
　　
　　以蘇教版《數學》三年級下冊“面積單位”學習為例。這節課的學習難點在于建立較為準確的面積單位的表象。于是，教學中教師引導學生在豐富的“做數學”活動中主動建構面積單位。認識1平方厘米時，教師出示1平方厘米的正方形，讓學生猜想其邊長，并展開測量驗證，明確定義。隨后，組織學生在摸一摸、想一想、找一找、比一比等活動中全方位感知1平方厘米的大小。認識1平方分米和1平方米時，基于學生認識1平方厘米的經驗，教師提供多元素材，讓學生自主開展1平方分米和1平方米的認識活動，并在全班交流分享。至此，面積單位不再是一段抽象的文字，而是集文字、圖形、實物、符號等多種表征為一體的直觀形象。
　　
　　(3）廣泛聯結。數學概念之間存在著廣泛的聯系。教學中，要借助概念符號表征的相似性、邏輯形式的關聯性、思想方法的一致性，打通不同領域、序列、主題單元知識之間的聯系，為后續教學埋下伏筆，預留接口。
　　
　　以“分數單位”教學為例?，F行不同版本教材編排“分數單位”這一概念時，通常在概括出分數的意義的基礎上揭示概念，隨后編排幾道說分數單位及其個數的練習題。教學中，教師往往著力于分數意義的抽象概括，對分數單位只是一帶而過，未能體現分數單位的價值。為此，我們通過微視頻圖文并茂地介紹分數發展史，引出“埃及分數”，隨后出示一幅長方形圖，平均分成10份，通過課件逐步涂色表示并追問：“在這些分數中，哪個分數最重要？為什么？”在此基礎上，進一步將長方形壓扁成數線，并在平分點處對每個分數出示相應的小數。這一教學片斷充分挖掘與“分數單位”關聯的素材：分數發展史與“埃及分數”的介紹為分數單位的揭示找到一個最佳契合點，激發學生的學習興趣；長方形圖與系列分數的逐一出示引領學生感悟分數單位不斷累加便能形成不同的分數，為學生后續認識真分數與假分數奠定堅實的基礎；數線和小數的呈現又將分數的計數方法和小數進行聯通，體現計數方法的一致性。如此教學，準確把握分數意義的“生長點”和“延伸點”，引領學生感受數的認識的整體性。
　　
　　3. 激活概念應用
　　
　　概念應用有不同的層次，為促使學生對概念進行思維水平上的應用，教師除深化對概念內涵與外延的理解，還應設置真實的問題情境，引導學生綜合運用所學知識與各種策略，不斷地進行數學抽象、推理或建模，繼而實現問題的解決[4]。
　　
　　(1）對接生活原型。在進行概念教學時，關照概念的背景、形成過程以及應用，便能有效對接學生的生活現實，從而使得概念建構更為自然。
　　
　　以“圓柱的高”教學為例。“圓柱的高”在實際生活中表現形態各異。因此，在學生初步認識這一概念后，我們逐一提出三個問題：“日光燈管可以看作一個近似的圓柱，它的‘高’我們通常怎么表述？一元硬幣也可看作一個近似的圓柱，那它的‘高’我們一般怎么說呢？有些同學家里挖的水井同樣可以看作一個近似的圓柱，人們又怎樣說它的‘高’呢？”學生興致高漲，齊聲用“長”“厚”“深”來作答?？此齐S機的三問三答使學生腦海中圓柱的表象更為豐富，同時溝通數學概念與現實生活的聯系，讓學生感受到數學就在自己的身邊，也為他們日后解決相關的實際問題埋下了伏筆。
　　
　　(2）創設應用場景。數學源于生活，又服務于生活。但學生很難將所學知識遷移至現實世界解決問題，其中很大的原因在于學校中的問題情境常常是良構、單一、靜態的，而真實世界的問題常常是劣構、多元、動態的[5]。無疑，創設真實的應用場景，促進學生獨立思考解決問題的方法、路徑是概念教學應有的視角。
　　
　　蘇教版數學教材中有這樣一道習題：
　　
　　倘若直接把這題原原本本地呈現在學生面前，相信所有學生都會迅速求出問題的答案，但這顯然未能達成預設的“初步了解抽樣估計的方法，經歷用平均數解決簡單實際問題的過程，進一步感受平均數的意義和特點；提高解決問題的能力，積累分析和處理數據的方法，發展數據意識”等教學目標。為此，我們基于這一問題展開如下設計：課件出示一筐50個橘子，提問：這筐橘子大約重多少千克？當有學生提出用秤稱一稱的時候，繼續指出沒有能稱一筐橘子的大秤，只有一個小臺秤，進一步引發學生的思考，于是學生在討論中出現兩種思路：一是幾個幾個稱，最后再相加；另一種是隨意拿出幾個稱一稱，求出平均數，再乘50。當不同的方案出現時，引導學生比較，學生大多認同第二種思路，在此基礎上收集數據解決問題。如此，在一個真實的問題面前，學生的主體地位真正凸顯，他們主動分析問題、解決問題，完整地經歷概念的應用過程。
　　
　　李邦河指出，數學根本上是玩概念的，不是玩技巧[6]。這句話一針見血地表達了概念之于數學學習和研究的重要性。在基礎教育課程改革再出發之際，關于課堂教學的各種熱點問題紛繁復雜，作為一名教師，我們應專注數學教學中的關鍵問題，在實踐中找尋概念教學的最佳路徑，彰顯數學概念的育人價值。
　　
　　參考文獻
　　
　　[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022:1.
　　
　　[2] 鄭聲華.立足數學概念教學，促進師生共同發展[J].福建論壇：社科教育版，2010(04):107-108.
　　
　　[3] 唐劍嵐.概念多元表征的教學設計對概念學習的影響[J].數學教育學報，2010,19(02):28-33.
　　
　　[4] 宋運明.核心素養導向的小學數學概念教學：融合優秀教師課例的探析[J].基礎教育課程，2020(20):41-45.
　　
　　[5] 劉徽.“大概念”視角下的單元整體教學構型：兼論素養導向的課堂變革[J].教育研究，2020,41(06):64-77.
　　
　　[6] 李邦河.數的概念的發展[J].數學通報，2009,48(08):1-3+9.

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